Standard set
III etap edukacyjny
Standards
Showing 142 of 142 standards.
Liczby rzeczywiste
Wyrażenia algebraiczne. Uczeń:
Równania i nierówności. Uczeń:
Układy równań. Uczeń:
Funkcje. Uczeń:
Ciagi
Trygonometria. Uczeń:
Planimetria. Uczeń:
Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Uczeń:
Stereometria. Uczeń:
Kombinatoryka. Uczeń:
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Uczeń:
Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Uczeń:
I.1)
wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych;
I.2)
przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia nie trudniejsze niż:
I.3)
stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych,
I.4)
stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach,
I.5)
stosuje własności monotoniczności potęgowania, w szczególności własności: jeśli x < y oraz a > 1, to a^x < a^y, zaś gdy x < y i 0 < a < 1, to a^x > a^y.
I.6)
posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej,
I.7)
stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania i nierówności typu:|x+4| = 5, |x-2| < 3, |x+3| => 4,
I.8)
wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów,
I.9)
stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.
I.R1)
stosuje wzór na zamianę podstawy logarytmu.
II.1)
stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a+b)^2, (a-b)^2, a^2-b^2, (a+b)^3, (a-b)^3, a^3-b^3, a^3+b^3,
II.2)
dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych,
II.3)
wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej,
II.4)
rozkłada wielomiany na czynniki metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias oraz metodą grupowania wyrazów
II.5)
znajduje pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych,
II.6)
dzieli wielomian jednej zmiennej W( x) przez dwumian postaci x - a ,
II.7)
mnoży i dzieli wyrażenia wymierne,
II.8)
dodaje i odejmuje wyrażenia wymierne
II.R1)
znajduje pierwiastki całkowite i wymierne wielomianu o współczynnikach całkowitych,
II.R2)
stosuje podstawowe własności trójkąta Pascala
II.R3)
korzysta ze wzorów na: a^3+b^3, (a+b)^n i (a-b)^n.
III.1)
przekształca równania i nierówności w sposób równoważny,
III.2)
interpretuje równania i nierówności sprzeczne oraz tożsamościowe,
III.3)
rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą,
III.4)
rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe,
III.5)
rozwiązuje równania wielomianowe, które dają się doprowadzić do równania kwadratowego, w szczególności równania dwukwadratowe,
III.6)
rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania,
III.7)
rozwiązuje równania wymierne postaci ( V(x) / W(x) ) = 0 , gdzie wielomiany V(x) i W(x) są zapisane w postaci iloczynowej.
III.R1)
rozwiązuje nierówności wielomianowe typu: W x( ) > 0, W x( ) ≥ 0, W x( ) < 0, W x( ) ≤ 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania,
III.R2)
rozwiązuje łatwe równania i nierówności wymierne
III.R3)
stosuje wzory Viète’a dla równań kwadratowych,
III.R4)
rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną, o stopniu trudności nie większym niż: 2x+3 + 3x-1 = 13, x+2 + 2x-3 < 11,
III.R5)
analizuje równania i nierówności liniowe z parametrami oraz równania i nierówności kwadratowe z parametrami, w szczególności wyznacza liczbę rozwiązań w zależności od parametrów, podaje warunki, przy których rozwiązania mają żądaną własność, i wyznacza rozwiązania w zależności od parametrów.
IV.1)
rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych,
IV.2)
stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych,
IV.3)
rozwiązuje metodą podstawiania układy równań, z których jedno jest liniowe, a drugie kwadratowe,
IV.R1)
rozwiązuje układy równań kwadratowych
V.1)
określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach),
V.2)
oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym,
V.3)
odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie,
V.4)
odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane,
V.5)
interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej,
V.6)
wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach,
V.7)
szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem,
V.8)
interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje),
V.9)
wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie,
V.10)
wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym,
V.11)
wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym,
V.12)
na podstawie wykresu funkcji y= f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x-a), y = f(x+b), y = -f(x), y = f (-x),
V.13)
posługuje się funkcją f(x) = a/x , w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych,
V.14)
posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.
V.R1)
na podstawie wykresu funkcji y = f(x) rysuje wykres funkcji y = f(x) ,
V.R2)
posługuje się złożeniami funkcji,
V.R3)
dowodzi monotoniczności funkcji zadanej wzorem, jak w przykładzie: wykaż, że funkcja f(x) = (x-1) / (x+2) jest monotoniczna w przedziale ( −∞,- 2) .
VI.1)
oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym,
VI.2)
oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie
VI.3)
w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący,
VI.4)
sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny,
VI.5)
stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego,
VI.6)
stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego,
VI.7)
wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.
VI.R1)
oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu 1/n, pierwiastek n-tego stopnia z liczby a oraz twierdzeń o granicach sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych, a także twierdzenia o trzech ciągach,
VI.R2)
rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.
VII.1)
wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180° , w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°,
VII.2)
znajduje przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych, korzystając z tablic lub kalkulatora,
VII.3)
znajduje za pomocą tablic lub kalkulatora przybliżoną wartość kąta, jeśli dana jest wartość funkcji trygonometrycznej,
VII.4)
korzysta z wzorów sin^2 a+ cos^2 a=1, tg a = sin a /cos a
VII.5)
stosuje twierdzenia sinusów i cosinusów oraz wzór na pole trójkąta P = 0.5∙a∙b∙sin(γ) ,
VII.6)
oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty).
VII.R1)
stosuje miarę łukową, zamienia miarę łukową kąta na stopniową i odwrotnie,
VII.R2)
posługuje się wykresami funkcji trygonometrycznych: sinus, cosinus, tangens,
VII.R3)
wykorzystuje okresowość funkcji trygonometrycznych,
VII.R4)
stosuje wzory redukcyjne dla funkcji trygonometrycznych,
VII.R5)
korzysta z wzorów na sinus, cosinus i tangens sumy i różnicy kątów, a także na funkcje trygonometryczne kątów podwojonych,
VII.R6)
rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne
VIII.1)
wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa,
VIII.2)
rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów), stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok,
VIII.3)
rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności,
VIII.4)
korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach,
VIII.5)
stosuje własności kątów wpisanych i środkowych,
VIII.6)
stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu,
VIII.7)
stosuje twierdzenia: Talesa, odwrotne do twierdzenia Talesa, o dwusiecznej kąta oraz o kącie między styczną a cięciwą,
VIII.8)
korzysta z cech podobieństwa trójkątów,
VIII.9)
wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych,
VIII.10)
wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności,
VIII.11)
stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur,
VIII.12)
przeprowadza dowody geometryczne.
VIII.R1)
stosuje własności czworokątów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu.
IX.1)
rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje,
IX.2)
posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich jak na przykład przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość lub prostopadłość do innej prostej, styczność do okręgu) ,
IX.3)
oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych,
IX.4)
posługuje się równaniem okręgu
IX.5)
oblicza odległość punktu od prostej,
IX.6)
znajduje punkty wspólne prostej i okręgu oraz prostej i paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej,
IX.7)
wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).
IX.R1)
stosuje równanie okręgu w postaci ogólnej,
IX.R2)
znajduje punkty wspólne dwóch okręgów,
IX.R3)
zna pojęcie wektora i oblicza jego współrzędne oraz długość, dodaje wektory i mnoży wektor przez liczbę, oba te działania wykonuje zarówno analitycznie, jak i geometrycznie.
X.1)
rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się,
X.2)
posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami,
X.3)
rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów,
X.4)
rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów,
X.5)
określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną,
X.6)
oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń,
X.7)
wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.
X.R1)
zna i stosuje twierdzenie o prostej prostopadłej do płaszczyzny i o trzech prostopadłych,
X.R2)
wyznacza przekroje sześcianu i ostrosłupów prawidłowych oraz oblicza ich pola, także z wykorzystaniem trygonometrii.
XI.1)
zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych,
XI.2)
zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności w sytuacjach nie trudniejszych niż:
XI.R1)
oblicza liczbę możliwych sytuacji, spełniających określone kryteria, z wykorzystaniem reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) oraz wzorów na liczbę: permutacji, kombinacji i wariacji, również w przypadkach wymagających rozważenia złożonego modelu zliczania elementów,
XI.R2)
stosuje współczynnik dwumianowy (symbol Newtona) i jego własności przy rozwiązywaniu problemów kombinatorycznych.
XII.1)
oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym,
XII.2)
stosuje skalę centylową,
XII.3)
oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę,
XII.4)
oblicza odchylenie standardowe zestawu danych (także w przypadku danych odpowiednio pogrupowanych), interpretuje ten parametr dla danych empirycznych,
XII.5)
oblicza wartość oczekiwaną, np. przy ustalaniu wysokości wygranej w prostych grach losowych i loteriach.
XII.R1)
oblicza prawdopodobieństwo warunkowe i stosuje wzór Bayesa, stosuje twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym,
XII.R2)
stosuje schemat Bernoulliego.
XIII.1)
rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.
XIII.R1)
oblicza granice funkcji (w tym jednostronne),
XIII.R2)
stosuje własność Darboux do uzasadniania istnienia miejsca zerowego funkcji i znajdowania przybliżonej wartości miejsca zerowego,
XIII.R3)
stosuje definicję pochodnej funkcji, podaje interpretację geometryczną i fizyczną pochodnej,
XIII.R4)
oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu i funkcji złożonej,
XIII.R5)
stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji,
XIII.R6)
rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.
I.2)a)
dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych,
I.2)b)
dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3, to jej trzecia potęga przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2,
XI.2)a)
obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2,
XI.2)b)
obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.
Framework metadata
- Source document
- Podstawa programowa kształcenia ogólnego
- License
- CC BY 4.0 US